Question

在数列{an}中，已知a1=2，且对任意的正整数n，m，都有an+m=an+am．

Answer 1

解题思路：（I）由对任意的正整数n，m，都有a_n+m=a_n+a_m，a₁=2．可得：a₂=a₁+a₁=2，a₃=a₁+a₂=2+2=4，a₄=2a₂=8．…，即可猜想出．

（II）b_n=

1

2

n+1

•a_n=

2n

2

n+1

=

n

2

n

．利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

（I）由对任意的正整数n，m，都有an+m=an+am，a1=2．可得：a2=a1+a1=2，a3=a1+a2=2+2=4，a4=2a2=8．猜想an=2n．（II）bn=12n+1•an=2n2n+1=n2n．∴Sn=121+222+323+…+n2n，12Sn=122+223+…+n−12n+n2n+1，两式相减可...

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查了递推数列的意义、“错位相减法”和等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，考查了猜想归纳能力．属于中档题．