Question

线性代数,在非标准基下,向量内积、模在定义上有什么变化?

Answer 1

设{e1,e2,...,en}是一组基,不一定是标准正交基

Gram矩阵G=

[ (e1,e1) (e1,e2) . (e1,en) ]

[ (e1,e2) (e2,e2) . (e2,en) ]

.

[ (e1,en) (e2,en) . (en,en) ]

向量a和b在上述基下的坐标列向量分别为x,y

则(a,b)=x'Gy

注意,当{e1,e2,...,en}是标准正交基时,G=E

也就是(a,b)=x'y

这就是内积的区别,就是不是标准正交基的话,中间的Gram矩阵不再是E,必须乘在中间

至于模,是根据内积的定义,

即||a||=根号{(a,a)}=根号{x'Gx}

当{e1,e2,...,en}是标准正交基时,G=E,

也就是||a||=根号{(a,a)}=根号{x'x}

所以模的区别也就是,如果不是标准正交基的话,中间的Gram矩阵不再是E,必须乘在中间