Question

曲线积分 2x^2+f(y) (ydx-xdy) 与路径无关

Answer 1

1)

设P=y/[2x^2+f(y)],Q=-x/[2x^2+f(y)]

根据曲线积分与路径无关,所以Q'x=P'y

因为Q'x=[2x^2-f(y)] / [2x^2+f(y)]^2,P'y=[2x^2+f(y)-yf'(y)] / [2x^2+f(y)]^2

所以2x^2-f(y)=2x^2+f(y)-yf'(y)

所以yf'(y)=2f(y)

df(y)/f(y)=2dy/y

那么lnf(y)=2lny+c

即lnf(x)=2lnx+c

把f(1)=1带入上式,得到c=0

所以lnf(x)=2lnx=lnx^2

所以f(x)=x^2

2)

Γ是包围原点的心形线.

根据高斯定理,在Γ上的积分,等于任何一个包围原点的曲线M上的积分.

随便取一个M：2x^2+y^2=t^2,t是个常数

写出M的参数方程x=tcosθ/√2,y=tsinθ

所以

原积分=∫M Pdx+Qdy=(1/t^2) ∫ydx-xdy

=(1/t^2) ∫(0->2π) [tsinθd(tcosθ/√2)-(tcosθ/√2)d(tsinθ)]

=(1/t^2) ∫(0->2π) (-t^2/√2) dθ

= -√2π