Question

设有数列an,a1=5/6,若以a1,a2,...an为系数的二次方程:an-1X^2-anx+1=0,都有根A,B,且

Answer 1

(1)∵3A-AB+3B=1

∴3(A+B)-AB=1

∵以a[1],a[2],...,a[n]为系数的二次方程:a[n-1]x^2-a[n]x+1=0,都有根A,B

∴3a[n]/a[n-1]-1/a[n-1]=1

3a[n]-1=a[n-1]

即：a[n]-1/2=(a[n-1]-1/2)/3 【此步可以用待定系数法,但较简单可以直接观察得到】

∵a[1]=5/6

∴{a[n]-1/2}是首项为a[1]-1/2=1/3,公比为也为1/3的等比数列

即：a[n]-1/2=(1/3)(1/3)^(n-1)=(1/3)^n

∴a[n]=(1/3)^n+1/2

(2)S[n]=(1/3)^1+...+(1/3)^n+n/2

=(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)+n/2

=[n+1-3^(-n)]/2