三角形ABC中.向量m=(2cosB,1),向量n(2COSˆ2(π∕4+B∕2),-1+sin2B),且满足

1个回答

  • 第一个问题:

    ∵|向量m+向量n|=|向量m-向量n|,

    ∴|向量m|^2+2向量m·向量n+|向量n|^2=|向量m|^2-2向量m·向量n+|向量n|^2,

    ∴向量m·向量n=0.

    ∵向量m=(2cosB,1)、向量n=(2[cos(π/4+B/2)]^2,-1+sin2B),

    ∴4cosB[cos(π/4+B/2)]^2-1+sin2B=0,

    ∴2cosB[1+cos(π/2+B)]-1+sin2B=0,

    ∴2cosB-2cosBsinB-1+2cosBsinB=0,∴2cosB-1=0,∴cosB=1/2,∴B=60°.

    第二个问题:

    (sinA)^2+(sinC)^2

    =(1/2)(1-cos2A)+(1/2)(1-cos2C)=1-(1/2)(cos2A+cos2C)

    =1-cos(A+C)cos(A-C)=1-cos(180°-B)cos(A-C)

    =1+cosBcos(A-C)=1+(1/2)cos(A-C).

    ∵B=60°,∴0°<A<120°、0°<C<120°,∴-120°<A-C<120°,

    ∴-1/2<cos(A-C)≦1,∴-1/4<(1/2)cos(A-C)≦1/2,

    ∴3/4<1+(1/2)cos(A-C)≦3/2.

    ∴[(sinA)^2+(sinC)^2]的取值范围是(3/4,3/2].