解题思路：（1）将a=1代入f（x），求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围即为单调递增区间，令导函数小于0得到的x的范围即为单调递减区间．
（2）求出导函数，令导函数大于等于0在[-1，1]上恒成立，结合二次函数的图象写出限制条件，求出a的范围．
（3）列出方程，转化为二次方程的根，根据根与系数的关系得到|x1-x2|max，然后利用二次函数的图象列出要使不等式恒成立的限制条件，求出m的范围．
（1）f(x)＝4x+x2−
2
3x3，
f'（x）=4+2x-2x2=-2（x2-x-2）=-2（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0⇒-1＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间为（-1，2）．
由f'（x）＜0⇒x＜-1，x＞2，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-1），（2，+∞）．…（4分）
（2）f'（x）=4+2ax-2x2，
因f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
所以f'（x）≥0恒成立．…（6分）
⇒
f′(−1)≥0
f′(1)≥0⇒−1≤a≤1．
A=[-1，1]…（9分）．
（3）f(x)＝2x+
1
3x3⇒4x+ax2−
2
3x3＝2x+
1
3x3，
2x+ax2-x3=0⇒x（x2-ax-2）=0
∴
x1+x2＝a
x1x2＝−2⇒|x1−x2|＝
(x1+x2)2−4x1x2＝
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查利用导数求函数的单调区间以及函数的单调性知道求参数的范围；考查结合二次函数的图象解决二次不等式恒成立问题．