Question

已知AB是抛物线y^2 =2px (p＞0)的任意一条过焦点的弦,若弦AB背焦点F分成长为m,n的两部分

Answer 1

此题需要画图通过几何知识来

以原点为顶点作一条开口向右的抛物线,焦点F（p/2,0）,准线方程：x=-p/2,准线交x轴于G.直线过F交抛物线于A,B,不妨设FA=m,FB=n,过A作AC垂直于准线于C,过B作BD垂直于准线于D,则有AC=m,BD=n(抛物线离心率e=1),

延长DF交CA延长线于E,由三角形AEF和BDF相似（AC平行于BD推得）,及AF=m,BD=n,可得到AE=m,所以CE=2m.

在三角形DCE中,利用平行线分线段成比例定理,有：GF/CE=BF/BE,由抛物线性质GF=p,因此p/(2m)=n/(m+n),整理分式可得1/m+1/n=2/p.