解释为什么不存在能判定所有级数是否绝对收敛的比较数列

2个回答

  • 只需要证明,对任意的收敛的正项级数{an},存在另一个收敛的正项级数bn},使得

    limsup bn/an = 正无穷,于是{an}不能作为判断{bn}收敛的比较数列.

    记{an}的部分和序列为Sn,Sn的极限为S,余项记为Rn(=S-Sn)

    bn可以构造为bn = an/(Rn)^{1/2}

    显然bn/an = 1/Rn^{1/2} -> 0

    另一方面,我们要证明bn是收敛的级数.当

    1/Rn^{1/2} < 1/x^{1/2},R(n+1) < x < Rn

    因为an < Rn- R(n+1)

    所以bn = an/(Rn)^{1/2} < (积分)[R(n+1),Rn]1/x^{1/2}dx

    所以b1+b2+...+bn + ...< (积分)[0,R0] 1/x^{1/2} dx