Question

几何,正方形性质中的一题,正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PE

Answer 1

（1）AP=EF,AP⊥EF,理由如下：

连接AC,则AC必过点O.

∵四边形ABCD是正方形 O是BD的中点

∴点A,O,C在同一直线上 AC=BD AC⊥BD

∵OA=OC=1/2AC OB=OD=1/2BD

∴OA=OB=OC=OD

∵OB=OC PE⊥BC

∴E是BC的中点

∵OC=OD PF⊥CD

∴F是CD的中点

∴EF是△BCD的中位线

∴EF‖BD EF=1/2BC

∴OA⊥EF OA=EF

∴AP=EF AP⊥EF

（2）题（1）的结论仍然成立,理由如下：

延长AP交BC于N,延长FP交AB于M；

∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,

∴四边形MBEP是正方形（证△BMP≌△BEP）

∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°；

又∵AB-BM=AM,BC-BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,

∴AM=PF,

∴△AMP≌△FPE,

∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PBF；

∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,

∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,

故AP=EF,且AP⊥EF．

（3）题（1）（2）的结论仍然成立；