Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．

Answer 1

解题思路：（1）通过面面平行⇒线面平行；

（2）根据线面垂直关系，判定直线在平面内的射影，证角符合线面角定义，再求角．

（3）可根据三垂线定理作二面角的平面角，再通过解三角形求角．

（1）证明：取AC的中点G，连接EG、FG，

∵EG∥CC₁，CC₁⊄平面EFG，∴CC₁∥平面EFG，

同理：BC∥平面EFG，

又∵BC、CC₁⊂平面BCC₁B₁，∴平面EFG∥平面BCC₁B₁．

（2）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，

∴EG⊥平面ABC

∵EG∥CC₁，∠FEG为直线EF与CC₁所成的角

△EFG为Rt△，∴tan∠FEG=[FG/EG]=

1

2a

a=[1/2]．

（3）取AF的中点H，连接GH、EH，

∵AC=BC，∴CF⊥AB，

又∵GH∥CF，∴GH⊥AB，

有（2）知EG⊥平面ABC，∴GH为EH在平面ABC中的射影，

∴∠EHG为二面角E-AB-C的平面角，

又△EHG是直角三角形，且∠HGE=90°，HG＝

1

2FC＝

2

4a，EG=CC₁=a，

则tanθ＝

EG

HG＝

a

2

4a＝2

2．

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题考查线面平行的判定、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．空间角的求法：1、作角（作平行线或垂线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）．