Question

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC上一点,AD⊥BM于E,交BC于D,如果∠AMB=∠CMD,求

Answer 1

证明：过点C作CG⊥AC交AD的延长线于G

∵∠BAC＝90

∴∠ABM+∠AMB＝90

∵AD⊥BM

∴∠GAC+∠AMB＝90

∴∠ABM＝∠GAC

∵CG⊥AC

∴∠ACG＝∠BAC＝90

∵AB＝AC

∴△ABM≌△CAG （ASA）

∴∠G＝∠AMB,CG＝AM

∵∠AMB＝∠CMD

∴∠G＝∠CMD

又∵AB＝AC

∴∠ACB＝45

∴∠GCB＝∠ACG－∠ACB＝45

∴∠ACB＝∠GCB

∵CD＝CD

∴△CGD≌△CMD （AAS）

∴CM＝CG

∴AM＝CM

∴M是AC的中点