Question

（2014•南昌模拟）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，an为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1

Answer 1

解题思路：（1）利用新定义直接利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

（2）利用某2k+1（k∈N^*）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式．

（1）数列-[1/2]，0，[1/2]为三阶期待数列…（1分）

数列-[3/8]，-[1/8]，[1/8]，[3/8]为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）

（2）设等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（k≥1）的公差为d，

∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，

∴（2k+1）a₁+

2k(2k+1)d

2=0，

所以a₁+kd=0，

即a_k+1=0，∴a_k+2=d，…（4分）

当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）

当d＞0时，据期待数列的条件①②得：a _k+2+a _k+3+…+a_2k+1=[1/2]，

∴kd+

k(k−1)

2d=[1/2]，即d=[1

k(k+1)

由a_k+1=0得 a_1+k•

1

k(k+1)=0，即 a₁=-

1/k+1]，

∴a_n=-[1/k+1]+（n-1）[1

k(k+1)=

n

k(k+1)-

1/k]（n∈N*，n≤2k+1）．…（7分）

当d＜0时，

同理可得kd+

k(k−1)

2d＝−

1

2，即d＝−

1

k(k+1)

由a_k+1=0得a1−k•

1

k(k+1)＝0，即a1＝

1

k+1，

∴an＝

1

k+1−(n−1)

1

k(k+1)＝−

n

k(k+1)+

1

k(n∈N*，n≤2n+1)．…（12分）

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题考查新数列新定义的应用，求数列的通项公式的方法，考查分析问题解决问题的能力，难度中，考查计算能力．