设等差数列{a n }的前n项和为S n ,且a 5 +a 13 =34,S 3 =9.数列{b n }的前n项和为T

1个回答

  • (1)设数列{a n}的首项为a 1,公差为d,由已知,有

    2 a 1 +16d=34

    3 a 1 +3d=9 ,…(2分)

    解得a 1=1,d=2,…(3分)

    所以{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N *).…(4分)

    (2)当n=1时,b 1=T 1=1-b 1,所以 b 1 =

    1

    2 .…(1分)

    由T n=1-b n,得T n+1=1-b n+1,两式相减,得b n+1=b n-b n+1

    故 b n+1 =

    1

    2 b n ,…(2分)

    所以,{b n}是首项为

    1

    2 ,公比为

    1

    2 的等比数列,所以 b n =(

    1

    2 ) n .…(3分)

    1

    a m +9 =

    1

    2m+8 =

    1

    2(m+4) ,…(4分)

    要使

    1

    a m +9 是{b n}中的项,只要m+4=2 n即可,可取m=4.…(6分)

    (3)由(1)知, c n =

    2n-1

    2n-1+t ,…(1分)

    要使c 1,c 2,c k成等差数列,必须2c 2=c 1+c k,即

    6

    3+t =

    1

    1+t +

    2k-1

    2k-1+t ,…(2分)

    化简得 k=3+

    4

    t-1 .…(3分)

    因为k与t都是正整数,所以t只能取2,3,5.…(4分)

    当t=2时,k=7;当t=3时,k=5;当t=5时,k=4.…(5分)

    综上可知,存在符合条件的正整数t和k,所有符合条件的有序整数对(t,k)为:(2,7),(3,5),(5,4).…(6分)