(1)设数列{a n}的首项为a 1,公差为d,由已知,有
2 a 1 +16d=34
3 a 1 +3d=9 ,…(2分)
解得a 1=1,d=2,…(3分)
所以{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N *).…(4分)
(2)当n=1时,b 1=T 1=1-b 1,所以 b 1 =
1
2 .…(1分)
由T n=1-b n,得T n+1=1-b n+1,两式相减,得b n+1=b n-b n+1,
故 b n+1 =
1
2 b n ,…(2分)
所以,{b n}是首项为
1
2 ,公比为
1
2 的等比数列,所以 b n =(
1
2 ) n .…(3分)
1
a m +9 =
1
2m+8 =
1
2(m+4) ,…(4分)
要使
1
a m +9 是{b n}中的项,只要m+4=2 n即可,可取m=4.…(6分)
(3)由(1)知, c n =
2n-1
2n-1+t ,…(1分)
要使c 1,c 2,c k成等差数列,必须2c 2=c 1+c k,即
6
3+t =
1
1+t +
2k-1
2k-1+t ,…(2分)
化简得 k=3+
4
t-1 .…(3分)
因为k与t都是正整数,所以t只能取2,3,5.…(4分)
当t=2时,k=7;当t=3时,k=5;当t=5时,k=4.…(5分)
综上可知,存在符合条件的正整数t和k,所有符合条件的有序整数对(t,k)为:(2,7),(3,5),(5,4).…(6分)