如图,底面是矩形的四棱锥P-ABCD中AB=2,BC=[2/5],侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD.

1个回答

  • 解题思路:(1)证明BC⊥侧面PAB,利用面面垂直的判定,可得侧面PAB⊥侧面PBC;

    (2)取AB中点E,连接PE、CE,则∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角,在Rt△PEC中,可求∠PCE;

    (3)证明AB∥侧面PCD,取CD中点F,连EF、PF,证明AB⊥平面PEF,从而可得平面PCD⊥平面PEF,作EG⊥PF,垂足为G,则EC⊥平面PCD,利用等面积可得结论.

    (1)证明:在矩形ABCD中,BC⊥AB

    又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB

    ∴BC⊥侧面PAB

    又∵BC⊂侧面PBC

    ∴侧面PAB⊥侧面PBC(4分)

    (2)取AB中点E,连接PE、CE

    又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB

    又∵侧面PAB⊥底面ABCD,∴PE⊥面ABCD,∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角

    ∵PE=

    3

    2BA=

    3,CE=

    BE2+BC2=

    3

    ∴在Rt△PEC中,∠PCE=45°为所求(8分)

    (3)在矩形ABCD中,AB∥CD

    ∵CD⊂侧面PCD,AB⊄侧面PCD,∴AB∥侧面PCD

    取CD中点F,连EF、PF,则EF⊥AB

    又∵PE⊥AB,PE∩EF=E,∴AB⊥平面PEF

    又∵AB∥CD

    ∴CD⊥平面PEF

    ∵CD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面PEF

    作EG⊥PF,垂足为G,则EC⊥平面PCD

    在Rt△PEF中,EG=

    PE•EC

    PF=

    30

    5为所求.(12分)

    点评:

    本题考点: 平面与平面垂直的判定;用空间向量求直线间的夹角、距离;用空间向量求直线与平面的夹角.

    考点点评: 本题考查面面垂直,考查线面角,考查线面距离,掌握面面垂直的判定,正确作出线面角是关键.