解题思路:(1)证明BC⊥侧面PAB,利用面面垂直的判定,可得侧面PAB⊥侧面PBC;
(2)取AB中点E,连接PE、CE,则∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角,在Rt△PEC中,可求∠PCE;
(3)证明AB∥侧面PCD,取CD中点F,连EF、PF,证明AB⊥平面PEF,从而可得平面PCD⊥平面PEF,作EG⊥PF,垂足为G,则EC⊥平面PCD,利用等面积可得结论.
(1)证明:在矩形ABCD中,BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB
又∵BC⊂侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC(4分)
(2)取AB中点E,连接PE、CE
又∵△PAB是等边三角形,∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD,∴PE⊥面ABCD,∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角
∵PE=
3
2BA=
3,CE=
BE2+BC2=
3
∴在Rt△PEC中,∠PCE=45°为所求(8分)
(3)在矩形ABCD中,AB∥CD
∵CD⊂侧面PCD,AB⊄侧面PCD,∴AB∥侧面PCD
取CD中点F,连EF、PF,则EF⊥AB
又∵PE⊥AB,PE∩EF=E,∴AB⊥平面PEF
又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PEF
∵CD⊂平面PCD,∴平面PCD⊥平面PEF
作EG⊥PF,垂足为G,则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中,EG=
PE•EC
PF=
30
5为所求.(12分)
点评:
本题考点: 平面与平面垂直的判定;用空间向量求直线间的夹角、距离;用空间向量求直线与平面的夹角.
考点点评: 本题考查面面垂直,考查线面角,考查线面距离,掌握面面垂直的判定,正确作出线面角是关键.