已知a∈R,函数f(x)=lnx+1x+ax.

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)当a=0时,求导数,确定函数的单调性,即可求f(x)的最小值;

    (Ⅱ)分类讨论,利用f(x)在区间[2,+∞)上是单调函数,可利用导数的正负,建立不等式,分离参数,求最值,即可求a的取值范围.

    (Ⅰ)当a=0时,f(x)=lnx+[1/x](x>0),

    所以f′(x)=[x−1

    x2.

    所以,当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.

    所以,当x=1时,函数有最小值f(1)=1.    …(6分)

    (Ⅱ)f′(x)=

    ax2+x−1

    x2.

    当a≥0时,ax2+x-1在[2,+∞)上恒大于零,即f′(x)>0,符合要求.

    当a<0时,要使f(x)在区间[2,+∞)上是单调函数,

    当且仅当x∈[2,+∞)时,ax2+x-1≤0恒成立.

    即a≤

    1−x

    x2恒成立.

    设g(x)=

    1−x

    x2,则g′(x)=

    x−2

    x3,

    又x∈[2,+∞),所以g′(x)≥0,即g(x)在区间[2,+∞)上为增函数,

    所以g(x)的最小值为g(2)=-

    1/4],所以a≤-[1/4].

    综上,a的取值范围是a≤-[1/4],或a≥0.…(13分)

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的最大值,考查函数的单调性,正确分离参数求最值是关键.