(2014•松江区三模)若正项数列{an}满足条件:存在正整数k,使得an+kan=anan−k对一切n∈N*,n>k都

1个回答

  • 解题思路:(1)利用定义,求出a8、a9,即可求a8•a9的值;

    (2)根据{an}是3级等比数列,列出方程,即可求ω所有可能值的集合,从而求ω取最小正值时数列{an}的前3n项和S3n

    (3)根据数列{an}为k级等比数列的定义,分充分性与必要性进行证明即可.

    (1)由题意,a8=a2(

    a4

    a2)3=

    1

    3×33=9…(2分)

    a9=a1(

    a3

    a1)4=4×

    1

    24=

    1

    4,

    ∴a8•a9=

    9

    4…(4分)

    (2)∵{an}是3级等比数列,

    an+3

    an=

    an

    an−3[2nsin(ωn+

    π

    6)]2=2n−3sin[(ωn+

    π

    6)−3ω]2n+3sin[(ωn+

    π

    6)+3ω]…(1分)

    ∴sin2(ωn+

    π

    6)=sin[(ωn+

    π

    6)−3ω]sin[(ωn+

    π

    6)+3ω]=sin2(ωn+

    π

    6)cos23ω−cos2(ωn+

    π

    6)sin23ω

    =sin2(ωn+

    π

    6)cos23ω−cos2(ωn+

    π

    6)sin23ω=sin2(ωn+

    π

    6)-sin2

    ∴sin23ω=0,

    ∴3ω=kπ(k∈Z),∴ω=

    点评:

    本题考点: 数列的应用.

    考点点评: 本题考查数列的应用,考查新定义,考查学生的计算能力,正确理解新定义是关键.