Question

复数 4：X^2＋aX＋b＝0(a,b∈R)的两个虚根为α,β,X^2-aX＋b＝0(a,b∈R)的两个虚根为1∕(α^

Answer 1

实系数方程,所以两根是共轭虚数

设为m+ni,m-ni

所以m+ni+m-ni=-a

a=-2m

相乘=m²+n²=b

而1/(m+ni)²+1/(m-ni)²=a

通分整理

2(m²-n²)/(m²+n²)²=a=-2m

1/(m+ni)²*1/(m-ni)²=b

1/(m²+n²)²=b=m²+n²

所以(m²+n²)³=1

m²+n²=1

代入2(m²-n²)/(m²+n²)²=-2m

m²-n²=-m

联立m²+n²=1

相加

2m²+m-1=0

m=-1,m=1/2

则n=0,n=±√3/2

虚根n≠0

所以

α=(1+i√3)/2,β=(1-i√3)/2

a=-(α+β)=-1

b=αβ=1

α和β可以互换