如图,在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中,∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G

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  • 解题思路:(1)证FG和CD的大小和位置关系,我们已知了G是CD的中点,猜想应该是FG⊥CD,FG=[1/2]CD.可通过构建三角形连接FD,FC,证三角形DFC是等腰直角三角形来得出上述结论,可通过全等三角形来证明;延长DE交AC于M,连接FM,证明三角形DEF和FMC全等即可.我们发现BDMC是个矩形,因此BD=CM=DE.由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形,∠BED=∠A=45°,因此∠AEM=∠A=45°,这样我们得出三角形AEM是个等腰直角三角形,F是斜边AE的中点,因此MF=EF,∠AMF=∠BED=45°,那么这两个角的补角也应当相等,由此可得出∠DEF=∠FMC,这样就构成了三角形DEF和CMF的全等的所有条件,可得到DF=FC,即三角形DFC是等腰三角形,下面证直角.根据两三角形全等,我们还能得出∠MFC=∠DFE,我们知道∠MFC+∠CFE=90°,因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°,这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了,也就能得出FG⊥CD,FG=[1/2]CD的结论了.

    (2)和(1)的证法完全一样.

    (1)FG⊥CD,FG=[1/2]CD.

    (2)延长ED交AC的延长线于M,连接FC、FD、FM,

    ∴四边形BCMD是矩形.

    ∴CM=BD.

    又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,

    ∴ED=BD=CM.

    ∵∠AEM=∠A=45°,

    ∴△AEM是等腰直角三角形.

    又F是AE的中点,

    ∴MF⊥AE,EF=MF,∠EDF=∠MCF.

    ∵在△EFD和△MFC中

    DE=MC

    ∠DEF=∠CMF

    EF=MF,

    ∴△EFD≌△MFC.

    ∴FD=FC,∠EFD=∠MFC.

    又∠EFD+∠DFM=90°,

    ∴∠MFC+∠DFM=90°.

    即△CDF是等腰直角三角形,

    又G是CD的中点,

    ∴FG=[1/2]CD,FG⊥CD.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

    考点点评: 本题中通过构建全等三角形来证明线段和角相等是解题的关键.