设a1,a2,...,an都是正数,证明不等式(a1+a2+...+an)[1/(a1)+1/(a2)+...+1/(a

2个回答

  • 用数学归纳法证明(a1+a2+...+an)*(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2

    证明:

    当n=1时,a1*(1/a1)=1>=1^2 成立.

    假设当n=k时,命题成立.

    即:(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)>=k^2

    则 n=k+1时,

    (a1+a2+...+ak+a)*(1/a1+1/a2+...1/ak+1/a)

    =(a1+a2+...+ak)*(1/a1+1/a2+...1/ak)+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak) +1

    >=k^2+a*(1/a1+1/a2+...1/ak)+1/a*(a1+a2+...+ak) +1 {由n=k时的结论}

    >=k^2+2*根号[a*(1/a1+1/a2+...1/ak)*1/a*(a1+a2+...+ak)]+1 {算术平均数不小于几何平均数}

    =k^2+2*根号[(1/a1+1/a2+...1/ak)*(a1+a2+...+ak)]+1 {由n=k时的结论}

    >=k^2+2*k+1

    =(k+1)^2

    因此当n=k+1时,命题成立.

    命题得证.