在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,则△ABC的形状是(  )

3个回答

  • 解题思路:通过(a+b+c)(b+c-a)=3bc化简整理得b2-bc+c2=a2,利用余弦定理中求得cosB,进而求得B=60°,把B代入sinA=2sinB cosC中化简整理求得tanA,进而求得A,最后根据三角形内角和求得C,进而可判断三角形的形状.

    ∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc

    ∴[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc

    ∴(b+c)2-a2=3bc

    b2+2bc+c2-a2=3bc

    b2-bc+c2=a2
    根据余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA

    ∴b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosA

    bc=2bccosA

    cosA=[1/2]

    ∴A=60°

    sinA=2sinBcosC

    sin(B+C)=2sinBcosC

    ∴sin(B-C)=0

    B=C,∵A=60°,∴B=C=60°

    ∴△ABC是等边三角形

    故选D.

    点评:

    本题考点: 三角形的形状判断.

    考点点评: 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用.要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式.