Question

一道很难的抛物线,已知抛物线y=ax^2+bx+c经过经过点(1,2),若a=1,抛物线的顶点为A,它与x轴交于两点B,

Answer 1

a=1

y=x^2+bx+c

把（1,2）代入

2=1+b+c

b+c=1

y=x^2+bx+c

所以x1+x2=-b,x1x2=c

设 B(x1,0),C(x2,0)

所以BC^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=b^2-4c

y=x^2+bx+c=(x+b/2)^2-b^2/4+c

所以A(-b/2,-b^2/4+c)

过A做AD垂直BC于D

则AD是等边三角形的高

且AD=A的纵坐标的绝对值=|-b^2/4+c|

等边三角形中AD/BC=√3/2

所以AD^2/BC^2=3/4=(-b^2/4+c)^2/(b^2-4c)=(1/16)*(b^2-4c)^2/(b^2-4c)=(1/16)(b^2-4c)

所以12=b^2-4c

b+c=1,c=1-b

所以b^2+4b-16=0

b=-2±2√5