解题思路：（1）利用奇函数的定义，验证f（-x）=-f（x）即可；
（2）根据单调性的证题步骤：取值、作差、变形定号、下结论，即可证得．
（1）函数的定义域为R
∵f(−x)＝
a−x−1
a−x+1=
1−ax
1+ax=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数；
（2）证明：f(x)＝
ax−1
ax+1＝1−
2
ax+1
在（-∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则
f(x1)−f(x2)＝1−
2
ax1+1−1+
2
ax2+1=
2(ax1−ax2)
(ax2+1)(ax2+1)
∵x1＜x2，a＞1，∴ax1＜ax2
∴ax1−ax2＜0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．