Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx，f（x-1）为偶函数，集合A={x|f（x）=x}为单元素集合．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据二次函数f（x）=ax²+bx，f（x-1）为偶函数，集合A={x|f（x）=x}为单元素集合，可得f（x）的对称轴为x=-1，f（x）=x有两个相等的实数根，由此可求f（x）的解析式；

（Ⅱ）g（x）=（[1/2]x²+x-m）•e^x，分类讨论：若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，则g′（x）≥0在x∈[-3，2]上恒成立；函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递减，则g′（x）≤0在x∈[-3，2]上恒成立，再分离参数即可求得实数m的取值范围．

（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax²+bx，f（x-1）为偶函数，

∴f（x）的对称轴为x=-1，∴−

b

2a＝−1

∵集合A={x|f（x）=x}为单元素集合

∴f（x）=x有两个相等的实数根

∴ax²+（b-1）x=0，∴b=1

∴

b＝1

−

b

2a＝−1

∴

b＝1

a＝

1

2

∴f（x）的解析式为f（x）=[1/2]x²+x；

（Ⅱ）g（x）=（[1/2]x²+x-m）•e^x，

若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，则g′（x）≥0在x∈[-3，2]上恒成立

即（[1/2]x²+2x+1-m）•e^x≥0对x∈[-3，2]上恒成立

∴m≤（[1/2]x²+2x+1）_min（x∈[-3，2]）

∴m≤-1

若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递减，则g′（x）≤0在x∈[-3，2]上恒成立

即（[1/2]x²+2x+1-m）•e^x≤0对x∈[-3，2]上恒成立

∴m≥（[1/2]x²+2x+1）_max（x∈[-3，2]）

∴m≥7

∴实数m的取值范围为（-∞，-1]∪[7，+∞）．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考查二次函数、函数的单调性，考查利用函数单调性求参数取值范围的综合运用．