如图,抛物线y=ax2+2ax+3与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A和点B分别在x轴的正、负半轴上),cot∠O

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  • 解题思路:(1)由于抛物线y=ax2+2ax+3与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A和点B分别在x轴的正、负半轴上),cot∠OCA=3.由此可以得C(0,3,在Rt△AOC中,∠AOC=90°,由于

    cot∠OCA=

    OC

    OA

    =3

    由此可以求出OA,然后求出A的坐标,最后把点A坐标代入解析式即可确定抛物线的解析式;

    (2)根据抛物线y=-x2-2x+3可以得到其对称轴是直线x=-1,又A(1,0),由此求出点B(-3,0),又四边形OBFE是平行四边形,根据平行四边形的性质得到EF=OB,由此可以求出点E的横坐标,然后设点

    E(

    1

    2

    ,y)

    代入解析式中即可求出y,也就求出E的坐标.

    (1)由题意,得C(0,3)(1分)

    在Rt△AOC中,∠AOC=90°,

    ∵cot∠OCA=

    OC

    OA=3

    ∴OA=1,

    ∴A(1,0)(2分)

    ∵点A在抛物线y=ax2+2ax+3上,

    ∴a+2a+3=0(1分)

    解得a=-1(1分)

    ∴抛物线的解析式是y=-x2-2x+3(1分)

    (2)∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴是直线x=-1(1分)

    又A(1,0)

    ∴点B(-3,0)(1分)

    ∵四边形OBFE是平行四边形

    ∴EF=OB=3,

    ∴点E的横坐标为[3/2−1=

    1

    2].(1分)

    设点E(

    1

    2,y)(1分)

    ∴y=−(

    1

    2)2−2×

    1

    2+3=

    7

    4(1分)

    ∴点E(

    1

    2,

    7

    4)(1分)

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 此题是二次函数的综合题,分别考查了待定系数法确定函抛物线的解析式、解直角三角形、抛物线的性质及平行四边形的性质,解题时首先读懂题意,然后正确把握题目的数量关系才能很好解决题目的问题.