解题思路:(1)由于抛物线y=ax2+2ax+3与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点(点A和点B分别在x轴的正、负半轴上),cot∠OCA=3.由此可以得C(0,3,在Rt△AOC中,∠AOC=90°,由于
cot∠OCA=
OC
OA
=3
由此可以求出OA,然后求出A的坐标,最后把点A坐标代入解析式即可确定抛物线的解析式;
(2)根据抛物线y=-x2-2x+3可以得到其对称轴是直线x=-1,又A(1,0),由此求出点B(-3,0),又四边形OBFE是平行四边形,根据平行四边形的性质得到EF=OB,由此可以求出点E的横坐标,然后设点
E(
1
2
,y)
代入解析式中即可求出y,也就求出E的坐标.
(1)由题意,得C(0,3)(1分)
在Rt△AOC中,∠AOC=90°,
∵cot∠OCA=
OC
OA=3
∴OA=1,
∴A(1,0)(2分)
∵点A在抛物线y=ax2+2ax+3上,
∴a+2a+3=0(1分)
解得a=-1(1分)
∴抛物线的解析式是y=-x2-2x+3(1分)
(2)∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴是直线x=-1(1分)
又A(1,0)
∴点B(-3,0)(1分)
∵四边形OBFE是平行四边形
∴EF=OB=3,
∴点E的横坐标为[3/2−1=
1
2].(1分)
设点E(
1
2,y)(1分)
∴y=−(
1
2)2−2×
1
2+3=
7
4(1分)
∴点E(
1
2,
7
4)(1分)
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 此题是二次函数的综合题,分别考查了待定系数法确定函抛物线的解析式、解直角三角形、抛物线的性质及平行四边形的性质,解题时首先读懂题意,然后正确把握题目的数量关系才能很好解决题目的问题.