Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是BD中点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证明平面BDD₁B₁⊥平面C₁OC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，在Rt△C₁OC中，求二面角C₁-BD-C的正切值．

（Ⅰ）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O是BD中点，

∵BC₁=DC₁，BC=DC，

∴C₁O⊥BD，CO⊥BD-------------------（2分）

∵C₁O∩CO=O，C₁O⊂平面C₁OC，CO⊂平面C₁OC，

∴BD⊥平面C₁OC------------------（5分）

∵BD⊂平面BDD₁B₁，∴平面BDD₁B₁⊥平面C₁OC．--------------（7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角---------------（11分）

则

C 1C=1，OC=

2

2

∴在Rt△C₁OC中，tan∠C1OC=

C1C

OC=

2

故二面角C₁-BD-C的正切值为

2．---------------（14分）

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是利用线面垂直的判定定理证明线面垂直．