Question

设矩阵A=[1 -1 1;-1 1 -1;1 -1 1],求正交矩阵T使T^-1AT=T`AT为对角矩阵.急用,会的请帮

Answer 1

解: |A-λE| =

1-λ -1 1

-1 1-λ -1

1 -1 1-λ

r1-r3

-λ 0 λ

-1 1-λ -1

1 -1 1-λ

第1行提出λ

-1 0 1

-1 1-λ -1

1 -1 1-λ

r2-r1,r3+r1

-1 0 1

0 1-λ -2

0 -1 2-λ

= λ*(-1)*[(1-λ)(2-λ)-2]

= -λ(λ^2-3λ)

= -λ^2(λ-3).

所以 A 的特征值为 0,0,3.

AX=0 的基础解系为: a1=(1,1,0)', a2=(1,-1,-2)'.

(A-3E)X=0 的基础解系为: a3=(1,-1,1)'

单位化(已经正交)得:

b1=(1/√2,1/√2,0)', b2=(1/√6,-1/√6,-2/√6)', b3=(1/√3,-1/√3,1/√3)'

令 T = (b1,b2,b3) =

1/√2 1/√6 1/√3

1/√2 -1/√6 -1/√3

0 -2/√6 1/√3

则T为正交矩阵, 且 T^-1AT = diag(0,0,3).