Question

已知二次函数f（x）=（x-1）2，直线g（x）=4（x-1），数列{an}满足，（an+1-an）g（an）+f（an

Answer 1

解题思路：（1）先根据f（x）和g（x）的解析式化简，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0），得（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0再用构造法求出数列{a_n}的通项公式．

（2）根据f（x）和g（x）的解析式及数列{a_n}的通项公式化简b_n，再用二次函数求极值的方法求出数列{b_n}的最值及相应的n．

（1）∵（a_n+1-a_n）•4（a_n-1）+（a_n-1）²=0∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0∵a₁=2，

∴a_n≠1，4a_n+1-3a_n-1=0∴an+1−1＝

3

4(an−1)，a1−1＝1数列a_n-1是首项为1，公比为[3/4]的等比数列

∴an−1＝(

3

4)n−1，an＝(

3

4)n−1+1

（2）b_n=3（a_n-1）²-4（a_n+1-1）=3[(

3

4)n−1]2−4(

3

4)n＝3{[(

3

4)n−1]2−(

3

4)n−1}

令bn＝y，u＝(

3

4)n−1则y＝3{(u−

1

2)2−

1

4}＝3(u−

1

2)2−

3

4∵n∈N^*，

∴u的值分别为1，

3

4，

9

16，

27

64，经比较[9/16]距[1/2]最近，

∴当n=3时，b_n有最小值是−

189

256，当n=1时，b_n有最大值是0．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 此题考查数列和函数的综合应用，综合性强，做题时应认真审题，别丢条件．