让我们首先来分析一下这个句子的成分：
主语：my mother
谓语：asked
宾语：me
而me 后边的句子则是作为me的 宾语补足语.
宾语补足语一般由 to- , -ing 引导.
而ask 的固定搭配用法是 ask sb to do sth. 所以此处宾语补足语 该由 to 引导.
再举个例子：
I saw you stand(ing) at the door.
这句话I是主语,saw是谓语,you是宾语,stand(ing) at the door就是宾语补足语了,但处是 -ing引导的.
希望帮到你!