1.
n≥2时,
a(n+1)=4an-3a(n-1)
a(n+1)-an=3an-3a(n-1)=3[an-a(n-1)]
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=3,为定值
a2-a1=3-1=2,数列{a(n+1)-an}是以2为首项,3为公比的等比数列.
a(n+1)-an=2×3^(n-1)=3^n -3^(n-1)
a(n+1)-3^n=an-3^(n-1)
a1-3^0=1-1=0,数列{an -3^(n-1)}是各项均为0的常数数列
an-3^(n-1)=0
an=3^(n-1)
n=1时,a1=1；n=2时,a2=3,均满足通项公式,数列{an}的通项公式为an=3^(n-1)
2.
n=1时,b1/a1=2+1 b1=3a1=3
n≥2时,
b1/a1+b2/(2a2)+...+bn/(nan)=2n+1 (1)
b1/a1+b2/(2a2)+...+b(n-1)/[(n-1)a(n-1)]=2(n-1)+1 (2)
(1)-(2)
bn/(nan)=2n+1-[2(n-1)+1]=2
bn=2nan=2n×3^(n-1)
Sn=b1+b2+...+bn=2×[1×1+2×3+3×3^2+...+n×3^(n-1)]
3Sn=2×[1×3+2×3^2+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3^n]
Sn-3Sn=-2Sn=2×[1+3+...+3^(n-1)-n×3^n]=2×[1×(3^n -1)/(3-1)-n×3^n]
Sn=n×3^n -(3^n -1)/(3-1)=[(2n-1)×3^n +1]/2