解题思路：（1）令n=2，3，4代入到xn+1xn＝λxnxn−1，(λ为非零参数，n=2，3，4，…）中得到x1、x3、x5若它们成等比数列则根据x32=x1x5，即求出λ即可；（2）设an＝xn+1xn，由已知，数列{an}是以x2x1＝1为首项、λ为公比的等比数列，化简不等式左边由0＜λ＜1，常数k∈N*且k≥3得证．
（1）由已知x1=x2=1，且
x3
x2＝λ
x2
x1⇒x3＝λ，
x4
x3＝λ
x3
x2⇒x4＝λ3，
x5
x4＝λ
x4
x3⇒x5＝λ6．
若x1、x3、x5成等比数列，
则x32=x1x5，即λ2=λ6．而λ≠0，
解得λ=±1．
（2）证明：设an＝
xn+1
xn，由已知，数列{an}是以
x2
x1＝1为首项、λ为公比的等比数列，
故
xn+1
xn＝λn−1，
则
xn+k
xn＝
xn+k
xn+k−1.
xn+k−1
xn+k−2
xn+1
xn=λn+k-2．λn+k-3λn-1
λkn+
k(k−3)
2．
因此，对任意n∈N*，
x1+k
x1+
x2+k
x2+…+
xn+k
xn=λk+
k(k−3)
2+λ2k+
k(k−3)
2+…+λkn+
k(k−3)
2=λ
k(k−3)
2(λk+λ2k+…+λnk)
=λ
k(k−3)
2
λk(1−λnk)
1−λk．
当k≥3且0＜λ＜1时，0＜λ
k(k−3)
2≤1，0＜1−λnk＜1，
所以
x1+k
x1+
x2+k
x2+…+
xn+k
xn＜
λk
1−λk(n∈N*)．
点评：
本题考点： 等比数列的性质；等差数列的前n项和；数列的应用；不等式的证明．
考点点评： 本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、等差数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．