Question

如图，正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，DC上，且△BEF为等边三角形，则△EDF与△BFC的面积比为（

Answer 1

解题思路：根据正方形的性质可得AB=BC，∠A=∠C=90°，根据等边三角形的性质可得BE=BF，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△CBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后求出DE=DF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，设DE=DF=x，表示出EF、CF，然后在Rt△BCF中利用勾股定理列出方程表示出x²，然后表示出S_△EDF和S_△BFC，求解即可．

在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，

∵△BEF为等边三角形，

∴BE=BF，

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

BE＝BF

AB＝BC，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），

∴AE=CF，

∴AD-AE=CD-CF，

即DE=DF，

∴△DEF是等腰直角三角形，

设DE=DF=x，则EF=

2x，CF=4-x，

在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，

即4²+（4-x）²=（

2x）²，

整理得，x²=8（4-x），

∵S_△EDF=[1/2]x²=4（4-x），

S_△BFC=[1/2]×4（4-x），

∴△EDF与△BFC的面积比为2：1．

故选A．

点评：

本题考点： 正方形的性质；等边三角形的性质．

考点点评： 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，关键在于求出△DEF是等腰直角三角形，难点在于分别表示出两个三角形的面积．