已知函数f(x)=13x3-ax2-x+1(a∈R)

1个回答

  • 解题思路:(1)由函数

    f(x)=

    1

    3

    x

    3

    -a

    x

    2

    -x+1(a∈R)

    ,知f′(x)=x2-2ax-1,由函数f(x)在x=x1,x=x2处取得极值,知x1+x2=2a,x1•x2=-1,由|x1-x2|=2,能求出a=0.由此能求出f(x)的单调区间.

    (2)设 F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=

    1

    3

    x

    3

    -(a+

    1

    2

    )x

    2

    +2ax+

    1

    6

    ,由F′(x)=x2-(2a+1)x+2a=(x-1)(x-2a),

    0<a<

    1

    2

    ,-2≤x≤0,知F(x)在[-2,0]上是增函数,再由F(-2)<0,F(0)>0,知曲线f(x)与

    g(x)=

    1

    2

    x

    2

    -(2a+1)x+

    5

    6

    ,(-2≤x≤0)的交点个数是1个.

    (1)∵函数f(x)=

    1

    3x3-ax2-x+1(a∈R),

    ∴f′(x)=x2-2ax-1,

    ∵函数f(x)在x=x1,x=x2处取得极值,

    ∴x1+x2=2a,x1•x2=-1,

    ∵|x1-x2|=2,

    (x1+x2)2-4x1x2=

    4a2+4=2,

    ∴a=0.

    ∴f′(x)=x2-1,

    由f′(x)=x2-1>0,得x<-1,或x>1;

    由f′(x)=x2-1<0,得-1<x<1,

    ∴f(x)在(-∞,-1)增,在(-1,1)减,在(1,+∞)增.

    (2)设 F(x)=f(x)-g(x),

    ∵f(x)=

    1

    3x3-ax2-x+1(a∈R),

    g(x)=

    1

    2x2-(2a+1)x+

    5

    6,(-2≤x≤0),

    ∴F(x)=

    1

    3x3-(a+

    1

    2)x2+2ax+

    1

    6,

    ∴F′(x)=x2-(2a+1)x+2a=(x-1)(x-2a),

    ∵0<a<

    1

    2,-2≤x≤0,

    ∴F′(x)=x2-(2a+1)x+2a=(x-1)(x-2a)>0,

    F(x)在[-2,0]上是增函数,

    ∵F(-2)=-[8/3-4a-2-4a+

    1

    6]<0,

    F(0)=[1/6>0,

    ∴曲线f(x)与g(x)=

    1

    2x2-(2a+1)x+

    5

    6],(-2≤x≤0)的交点个数是1个.

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件.

    考点点评: 本题考查导数在最大值和最小值问题中的应用,考查利用导数求两个函数的交点的数,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.

    “g(x)=12x2-(2a+1)x+56(-2≤x≤1)”应该更正为“g(x)=12x2-(2a+1)x+56,(-2≤x≤0)”.