解题思路:(1)由函数
f(x)=
1
3
x
3
-a
x
2
-x+1(a∈R)
,知f′(x)=x2-2ax-1,由函数f(x)在x=x1,x=x2处取得极值,知x1+x2=2a,x1•x2=-1,由|x1-x2|=2,能求出a=0.由此能求出f(x)的单调区间.
(2)设 F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=
1
3
x
3
-(a+
1
2
)x
2
+2ax+
1
6
,由F′(x)=x2-(2a+1)x+2a=(x-1)(x-2a),
0<a<
1
2
,-2≤x≤0,知F(x)在[-2,0]上是增函数,再由F(-2)<0,F(0)>0,知曲线f(x)与
g(x)=
1
2
x
2
-(2a+1)x+
5
6
,(-2≤x≤0)的交点个数是1个.
(1)∵函数f(x)=
1
3x3-ax2-x+1(a∈R),
∴f′(x)=x2-2ax-1,
∵函数f(x)在x=x1,x=x2处取得极值,
∴x1+x2=2a,x1•x2=-1,
∵|x1-x2|=2,
∴
(x1+x2)2-4x1x2=
4a2+4=2,
∴a=0.
∴f′(x)=x2-1,
由f′(x)=x2-1>0,得x<-1,或x>1;
由f′(x)=x2-1<0,得-1<x<1,
∴f(x)在(-∞,-1)增,在(-1,1)减,在(1,+∞)增.
(2)设 F(x)=f(x)-g(x),
∵f(x)=
1
3x3-ax2-x+1(a∈R),
g(x)=
1
2x2-(2a+1)x+
5
6,(-2≤x≤0),
∴F(x)=
1
3x3-(a+
1
2)x2+2ax+
1
6,
∴F′(x)=x2-(2a+1)x+2a=(x-1)(x-2a),
∵0<a<
1
2,-2≤x≤0,
∴F′(x)=x2-(2a+1)x+2a=(x-1)(x-2a)>0,
F(x)在[-2,0]上是增函数,
∵F(-2)=-[8/3-4a-2-4a+
1
6]<0,
F(0)=[1/6>0,
∴曲线f(x)与g(x)=
1
2x2-(2a+1)x+
5
6],(-2≤x≤0)的交点个数是1个.
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件.
考点点评: 本题考查导数在最大值和最小值问题中的应用,考查利用导数求两个函数的交点的数,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
“g(x)=12x2-(2a+1)x+56(-2≤x≤1)”应该更正为“g(x)=12x2-(2a+1)x+56,(-2≤x≤0)”.