Question

如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那

Answer 1

⑴在Rt △ABC中,∠ ACB＝90°,CD是AB上的中线,∴ ,∴CD=BD．

∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD,∴∠BEC＝90°,∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．

∴E是△ABC的自相似点．

⑵①作图略．（根据画角等的方法,画出两个角就行了）

作法如下：（i）在∠ABC内,作∠CBD＝∠A；

（ii）在∠ACB内,作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P．

则P为△ABC的自相似点．

②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心,∴ ,．

∵P为△ABC的自相似点,∴△BCP∽△ABC．

∴∠PBC＝∠A,∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A,

∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．

∴∠A+2∠A+4∠A＝180°．

∴ ．∴该三角形三个内角的度数分别为720/7 、180/7 、360/7 ．