我们平时使用的积分核心思想,是通过无限逼近来确定这个积分值.同时请注意,如果被积函数f(x)取负值,则相应的面积值S亦取负值.
这种积分称为：黎曼积分.我们学习的都是黎曼积分.你所理解的Dirichlel（狄利克雷）函数有界却积分不存在是在黎曼积分的前提下.但是在更广的勒贝格积分里可不是这样的结果了.
这部分理论已经大大超出了非数学专业的要求.是更深层次函数积分的定义.
不知道你接触过留数没有,特别是留数定理,这样的问题实际上是一种积分的类型,名称叫Dirichlel积分.这个问题和椭圆积分又有很密切的联系.留数定理在解决这种积分问题时的威力不小!
分析下Dirichlel函数,这个函数有一个很重要的性质,就是在任何区间内黎曼不可积；在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积,且勒贝格积分值为 0（且任意区间(a,b),以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）.
这个函数处处不连续.不仅仅体现在有理数点不连续.因为R积分不存在.L积分存在且为0.
L积分按照值域划分,R积分按照定义域划分区间,此函数R积分的划分任意小的区间都含有取0和取1的情况.但是L积分里取1的点可以用一个长度和充分小的区间族覆盖上,也就是说用一个长度和充分小的区间族覆盖,即测度为零.
直观上理解,一个是横着积,另外一个是竖着积.