Question

（2014•宜昌模拟）若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n+1（n∈N+）．

Answer 1

解题思路：（1）利用当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；

（2）先求出b_n=2ⁿ，再利用错位相减法，即可求数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n．

（1）当n=1时，a₁=S₁=3；…（1分）

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n+1）-[（n-1）²+（n-1）+1]=2n，

当n=1时，2n=2≠a₁，

∴a_n=

3，n＝1

2n．n≥2…（5分）

（2）∵{g（b_n）}是首项为1，公差为1的等差数列，

∴g（b_n）=n，

∵g（x）=log₂x，

∴log₂b_n=n，

∴b_n=2ⁿ，

∴T₁=a₁•b₁=6…（7分）

当n≥2时，a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，

∴T_n=6+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹①

2T_n=6×2+2×2⁴+3×2⁵+…+n•2ⁿ⁺²②…（9分）

由②-①有T_n=-10-（2⁴+2⁵…+2ⁿ⁺¹）+n•2ⁿ⁺²=6+（n-1）•2ⁿ⁺²，③…（11分）

∴n=1也满足上式，

因此T_n=6+（n-1）•2ⁿ⁺²． …（12分）

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查数列{an}的通项公式，考查错位相减法，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键．