Question

微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=-19的解为 ___ ．

Answer 1

解题思路：先套用一阶线性微分方程的通解公式写出微分方程的通解，再由初始条件确定任意常数即可．

因为一阶线性微分方程 y′+P（x）y=Q（x）的通解公式为

y=e^{-∫P（x）dx}（∫Q（x）e^{∫P（x）dx}dx+C），

且原方程等价为 y′+

2

xy=lnx，

所以原方程的通解为

y=e-∫

2

xdx(∫lnxe∫

2

xdx+C)

=[1

x2（∫x²lnxdx+C）

=

1

x2(

1/3x3lnx-

1

3∫x3(lnx)′dx+C)

=

1

x2](

1

3x3lnx-

1

3∫x2dx+C)

=[1/3xlnx-

1

9x+

C

x2]．

由y(1) = -

1

9 得，C=0

故所求解为y=

1

3xlnx-

1

9x．

点评：

本题考点： 一阶线性微分方程的求解．

考点点评： 本题难度不大，但需要熟记一阶线性微分方程的通解公式．