（1）对称轴是直线x＝1,点A的坐标是(3,0)．
（2）①如图1,连接AC、AD、CD,过点D作DM⊥y轴于M．
方法一：
∵A(3,0),C(0,－b),D(1,－a－b)．
∴OA＝3,OC＝b,MC＝a,MD＝1．
∵以AD为直径的圆经过点C,∴∠ACD＝90°．
∴∠OCD＋∠MCD＝90°,又∵∠OCD＋∠ODC＝90°．
∴∠MCD＝∠ODC,∴Rt△OCD∽Rt△MDC．
∴OA/OC＝MC/MD,即3/b＝a/1．
∴ab＝3．
又∵抛物线y＝ax sup2;－2ax－b与x轴的一个交点为B(－1,0)．
∴a(－1)²－2a(－1)－b＝0,即b＝3a．
联立ab＝3,b＝3a,解得a＝－1,b＝－3（∵a＞0,舍去）或a＝1,b＝3
∴抛物线的解析式为y＝x²－2x－3
方法二：
∵A(3,0),C(0,－b),D(1,－a－b)．
∴AC＝√(9＋b²),CD＝√(1＋a²),AD＝√[4＋(－a－b)²]
∵以AD为直径的圆经过点C,∴∠ACD＝90°．
∴△ACD是直角三角形,∴AC²＋CD sup2;＝AD sup2;
即9＋b sup2;＋1＋a sup2;＝4＋(a＋b)²
∴ab＝3
以下同方法一．
（3）如图2,当四边形BAFE为平行四边形时,则EF‖BA且EF＝BA．
∵BA＝3－(－1)＝4,∴EF＝4．
∵对称轴是直线x＝1,∴点F的横坐标为5
将x＝5代入y＝x²－2x－3,得y＝5²－2×5－3＝12．
∴F（5,12）
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上也存在点F,使得四边形BAEF是平行四边形,此时点F坐标为（－3,12）
如图3,当四边形BEAF为平行四边形时,点F与点D重合,
此时点F的坐标为（1,－4）
综上所述,满足条件的点F的坐标为（5,12）,（－3,12）或（1,－4）．