第一个问题：
令△ECF的外接圆圆心为为P,延长AM交⊙P于J.
∵C、H、F、J共圆,∴∠FJH＝∠FCH.
∵A、B、C、H共圆,∴∠FCH＝∠BAH.
由∠FJH＝∠FCH,∠FCH＝∠BAH,得：∠FJH＝∠BAH,即：∠AJF＝∠JAE,∴FJ∥AE.
∵J、E、C、H共圆,∴∠DCH＝∠EJH.
∵D、A、C、H共圆,∴∠DCH＝∠DAH.
由∠DCH＝∠EJH,∠DCH＝∠DAH,得：∠EJH＝∠DAH,即：∠AJE＝∠JAF,∴EJ∥AF.
由FJ∥AE,EJ∥AF,得：AEJF是平行四边形,∴EM＝FM,即：M是EF的中点.
第二个问题：
延长GM交⊙P于K.
∵K、J、C、H共圆,∴∠KJH＝∠KCH.
∵A、G、C、H共圆,∴∠GAH＝∠KCH.
由∠KJH＝∠KCH,∠GAH＝∠KCH,得：∠KJH＝∠GAH,即：∠GAJ＝∠KJA,∴KJ∥AG,
又AEJF是平行四边形［第一个问题时证得］,有：JM＝AM.
由M＝AM,KJ∥AG,得△KJM≌△GAM,∴KJ＝GA.
由证得的∠KJA＝∠GAJ,∠AJF＝∠JAE,得：∠KJA－∠AJF＝∠GAJ－∠JAE,
即：∠FJK＝∠EAG.
再由平行四边形AEJF,得：FJ＝EA.
由FJ＝EA,∠FJK＝∠EAG,KJ＝GA,得：△FJK≌△EAG,∴∠FKJ＝∠EGA.
∵E、F、K、J共圆,∴∠FEJ＋∠FKJ＝180°,结合证得的∠FKJ＝∠EGA,
得：∠FEJ＋∠EGA＝180°,显然,由平行四边形AEJF有：∠FEJ＝∠AFE,
∴∠AFE＋∠EGA＝180°,∴A、G、E、F共圆.