A不对,因为当s = 1,n = 1时,有整数解x = 1.
B也不对,因为上述的s = 1就是6k + 1的形式.
D也不对,因为当s = 3,n = 43时,有整数解x = 1.
作为选择题,按说就该选C了．
但是,我们还是应该看看,是不是s为偶数时,方程x²－8n＋7^s＝0一定没有整数解吗?
我们知道每个整数x的平方被8除,余数只能是0或1．
当s为负数时,因为x^2 - 8n中总是整数,而0 < 7^s < 1,所以没有整数解．
当为非复偶数时,设s = 2k (k >= 0)
倘若方程有整数解x,则
x^2 = 8n - 7^s = 8n - (8 - 1)^(2k) = 8M - 1 = 8(M - 1) + 7．(M是整数)
因此被x^2被8除余7,这与前面说的结论(整数x的平方被8除,余数只能是0或1)相矛盾．
所以当x为偶数时,方程总没有整数解．
到目前为止,我们尚不能完全踏实地选C．
因为,我们不知道是否除了偶数之外,仍有整数s使得方程无整数解．
也就是说,到目前为止,我们只是证明了“偶数集包含在那个使得方程总没有整数解的s所构成的集合中”,但是没证明“偶数集恰好就是在那个使得方程总没有整数解的s所构成的集合中”.
继续考虑 x^2 = 8n - 7^s．
我们来看看能不能找到某个奇数s也使得对任何的整数n该方程都无整数解．
类比前面关于负偶数的讨论,很容易就找到了s = - 1．
到此可见,偶数集是"真包含于"那个使得方程总没有整数解的s所构成的集合中,而不是"等于"．
照此说来,每个答案都是不对的．
作为学生,考试的时候,当然选C,只需要最前面4行的考虑．
但若不是考试,就应该向老师指出问题,给老师一个进步的机会．
ps:
如果把题目的条件改成"s是正整数",那么当s是正奇数时,7^s被8除余7,也就是说存在某个非负整数m使得7^s = 8m + 7,这时只要取n = m + 1,
就有8n - 7^s = 1．因此x = 1就是方程的整数解了．