解题思路:(1)用待定系数法就可求出b和c,再将抛物线的解析式配成顶点式,就可解决问题.
(2)由条件可得E(4-m,n)、F(m-4,n),从而得到PF=4,由四边形OAPF的面积为48可求出点P的纵坐标,然后代入抛物线的解析式就可求出点P的坐标.
(3)由点E与点P关于直线l对称可得MP=ME,则有MP+MA=ME+MA,根据“两点之间线段最短”可得AE的长就是MP+MA的最小值,只需运用勾股定理就可解决问题.
(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(4,0),B(1,-3),
∴
16+4b+c=0
1+b+c=-3.
解得:
b=-4
c=0.
∴y=x2-4x=(x-2)2-4.
∴抛物线的对称轴为x=2,顶点为(2,-4).
(2)如图1,
∵点P(m,n)与点E关于直线x=2对称,
∴点E的坐标为(4-m,n).
∵点E与点F关于y轴对称,
∴点F的坐标为(m-4,n).
∴PF=m-(m-4)=4.
∴PF=OA=4.
∵PF∥OA,
∴四边形OAPF是平行四边形.
∵S▱OAPF=OA•
.
yP.=4n=48,
∴n=12.
∴m2-4m=n=12.
解得:m1=6,m2=-2.
∵点P是抛物线上在第一象限内的点,
∴m=6.
∴点P的坐标为(6,12).
(3)过点E作EH⊥x轴,垂足为H,如图2,
在(2)的条件下,有P(6,12),E(-2,12),
则AH=4-(-2)=6,EH=12.
∵EH⊥x轴,即∠EHA=90°,
∴EA2=EH2+AH2=122+62=180.
∴EA=6
5.
∵点E与点P关于直线l对称,
∴MP=ME.
∴MP+MA=ME+MA.
根据“两点之间线段最短”可得:
当点E、M、A共线时,MP+MA最小,最小值等于EA的长,即6
5.
设直线AE的解析式为y=mx+n,
则
4m+n=0
-2m+n=12,
解得:
点评:
本题考点: 二次函数综合题;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求二次函数解析式;线段的性质:两点之间线段最短;勾股定理;关于x轴、y轴对称的点的坐标.
考点点评: 本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、两点之间线段最短、勾股定理、解一元二次方程、平行四边形的判定与性质、关于抛物线对称轴对称及关于y轴对称点的坐标特征等知识,有一定的综合性.