(2014•甘孜州)在平面直角坐标系xOy中(O为坐标原点),已知抛物线y=x2+bx+c过点A(4,0),B(1,-3

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  • 解题思路:(1)用待定系数法就可求出b和c,再将抛物线的解析式配成顶点式,就可解决问题.

    (2)由条件可得E(4-m,n)、F(m-4,n),从而得到PF=4,由四边形OAPF的面积为48可求出点P的纵坐标,然后代入抛物线的解析式就可求出点P的坐标.

    (3)由点E与点P关于直线l对称可得MP=ME,则有MP+MA=ME+MA,根据“两点之间线段最短”可得AE的长就是MP+MA的最小值,只需运用勾股定理就可解决问题.

    (1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(4,0),B(1,-3),

    16+4b+c=0

    1+b+c=-3.

    解得:

    b=-4

    c=0.

    ∴y=x2-4x=(x-2)2-4.

    ∴抛物线的对称轴为x=2,顶点为(2,-4).

    (2)如图1,

    ∵点P(m,n)与点E关于直线x=2对称,

    ∴点E的坐标为(4-m,n).

    ∵点E与点F关于y轴对称,

    ∴点F的坐标为(m-4,n).

    ∴PF=m-(m-4)=4.

    ∴PF=OA=4.

    ∵PF∥OA,

    ∴四边形OAPF是平行四边形.

    ∵S▱OAPF=OA•

    .

    yP.=4n=48,

    ∴n=12.

    ∴m2-4m=n=12.

    解得:m1=6,m2=-2.

    ∵点P是抛物线上在第一象限内的点,

    ∴m=6.

    ∴点P的坐标为(6,12).

    (3)过点E作EH⊥x轴,垂足为H,如图2,

    在(2)的条件下,有P(6,12),E(-2,12),

    则AH=4-(-2)=6,EH=12.

    ∵EH⊥x轴,即∠EHA=90°,

    ∴EA2=EH2+AH2=122+62=180.

    ∴EA=6

    5.

    ∵点E与点P关于直线l对称,

    ∴MP=ME.

    ∴MP+MA=ME+MA.

    根据“两点之间线段最短”可得:

    当点E、M、A共线时,MP+MA最小,最小值等于EA的长,即6

    5.

    设直线AE的解析式为y=mx+n,

    4m+n=0

    -2m+n=12,

    解得:

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题;解一元二次方程-因式分解法;待定系数法求二次函数解析式;线段的性质:两点之间线段最短;勾股定理;关于x轴、y轴对称的点的坐标.

    考点点评: 本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、两点之间线段最短、勾股定理、解一元二次方程、平行四边形的判定与性质、关于抛物线对称轴对称及关于y轴对称点的坐标特征等知识,有一定的综合性.