设函数f(x)=k×2x-2-x是定义域为R的奇函数.

2个回答

  • 解题思路:(1)利用f(0)=0,求得k的值,再验证函数是奇函数即可,判断y=2x,y=-2-x是增函数,即可得到结论;

    (2)f[f(x)]>0,等价于f[f(x)]>f(0),利用函数的单调性,可得结论;

    (3)先换元,再利用配方法,分类讨论,利用函数在[1,+∞)上的最小值为-2,可求m的值.

    (1)∵函数f(x)=k×2x-2-x是奇函数,∴f(0)=0,∴k×20-2-0=0,∴k=1.

    ∴f(x)=2x−2−x,此时f(-x)=-f(x),满足题意

    ∵y=2x是增函数,∴y=-2-x是增函数,∴f(x)=2x-2-x是增函数;

    (2)∵f[f(x)]>0,∴f[f(x)]>f(0).

    ∵f(x)=2x-2-x是增函数,∴2x-2-x>0,∴2x>2-x,∴x>0,∴f[f(x)]>0的解集是(0,+∞).

    (3)令2x-2-x=t,∵x≥1,∴t≥

    3

    2,y=t2−2mt+2=(t−m)2+2−m2(t≥

    3

    2),

    ①当m≥

    3

    2时,g(x)min=2−m2,∴2-m2=-2,∴m=2.

    ②当m<

    3

    2时,y在t=[3/2]时取最小值,[9/4−3m+2=−2,∴m=

    25

    12](舍去).

    综上得m=2.

    点评:

    本题考点: 奇偶性与单调性的综合.

    考点点评: 本题考查函数奇偶性与单调性的结合,考查解不等式,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.