①因为ACO为等腰直角三角形,其中ACO为直角,于是,可知AC=CO=√(3^2+1)=√10,而AO=√20；由∠COY=arcsin(1/√10),而∠AOC=45,可知∠AOE=AOX=45-arcsin(1/√10),于是A的坐标为(-√20×cos(∠AOE),-√20×sin(∠AOE))>=(-4,2).
或者：
作CD⊥AO交AO于D,可知D为AO的中点,因而求得D的坐标(x,y)就可得到A的坐标为(2x,2y).作三角形CDO的外接圆交X轴于E点,交CO于F点,交Y轴于点Y,则易知∠DFE为∠AOE两倍,再作三角形DFO的外接圆交X轴于点G,圆心为H,则易知∠AHG=2∠AOE=∠DFE.由于这两个圆的半径之比为√2：1,因此DE：DG=√2：1,又有点G再第二个外接圆上,因此∠DGO=90,因此DGE是一个等腰直角三角形.最后,三角形DEO是等腰三角形,且GE=EO=CY=1,因此DG=1,所以A的Y为2,于是A的X为-√((√2*√10)^2-2^2)=-4.
②分别延长EF和OC相交于点G,则由于AE⊥AC,∠FEO=∠COE,GEO为等腰三角形.过F做FH⊥AC交OA于H.另∠AOC=45+∠AOE,即∠AE与X轴夹角为45+∠AOE,于是E的坐标为(-3.33,0).显然三角形AEF与GFC相似.可计算得到EGO的高为5,OG长为5.2705,CG为2.108,于是GF长度为CG/cos(G)=2.6352=GO/2,于是GF=FE,因此AEF与GFC全等,即F为AC中点,于是∠EOF=90-∠COY-∠COF=45.
③ 由于M为AO的中点,所以CM垂直于AO,以CO为直径作圆可知该圆必通过M和N两点,于是可知∠MNO=∠AOC－因为两个角共弦MO,因此∠MNO=45,且与三角形ACO转动的角度无关,即不发生变化.
因此,第二题,可以借用第三题的解法,以AO为半径作圆,则该圆通过A和C两点,其实只要ACO为等腰直角三角形,不论C的坐标如何,即无论三角形ACO绕原点O如何旋转,在∠FEO=∠COE的条件下,延长OE交圆于G,作GH平行于EF交圆于H并连接HO,则∠GHO=∠GCO,且三角形GHO与GCO全等.于是∠GOH=∠EOF=∠CGO,又有∠CGO与∠CAO共弦CO,因此,∠EOF=∠CGO=∠CAO=45. 这个方法省去了坐标等复杂计算.且同第三题,可以证明,不论C坐标如何,即三角形ACO如何绕原点旋转都可以得到角度∠EOF=45.