Question

已知圆C 1 ：x 2 +y 2 -2x-4y+m=0，直线x+2y-4=0与圆C 1 相交于M，N两点，以MN为直径作

Answer 1

（Ⅰ）设圆心C ₂坐标为（x，y）．，

过圓心C ₁（1，2）且与直线x+2y-4=0垂直的直线方程为y=2x，

∴

x+2y-4=0

y=2x ，解得

x=

4

5

y=

8

5

又因为圆C ₂的半径为 r=

(

4

5 ) 2 + (

8

5 ) 2 =

4

5

5

∴圆C ₂的方程为 (x-

4

5 ) 2 +(y-

8

5 ) 2 =

16

5 ．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx，圆C ₁的半径为r ₁，圆C ₂的半径为r ₂．C ₁到直线y=kx的距离为d ₁，C ₂到y=kx的距离为d ₂．

则d ₁=r ₁，d ₂=r ₂．

由图形知，r ₁ ²=r ₂ ²+C ₁C ₂ ²，

∴ d 1 2 = d 2 2 +

1

5

∴ (

|k-2|

k 2 +1 ) 2 =(

|

4k

5 -

8

5 |

k 2 +1 ) 2 +

1

5 ，

解得： k=

9±5

2

2 ．

∴直线l的方程为 y=

9±5

2

2 x ．