解题思路：（1）先由线面平行的判定定理可证明符合条件的平面有平面B1D1C，再说明它的唯一性；（2）利用反证法，若存在过B1C且与BD垂直的平面α，则BD与B1C所成的角为90°，这与事实BD与B1C所成的角为30°矛盾；（3）可以计算BD与平面A1B1CD所成的角就是30°：连接BC1交B1C于O，证明∠BDO就是直线BD与平面A1B1CD所成的角，进而在直角三角形中计算即可
（1）在24条直线中，与直线BD平行的直线只有B1D1，故过B1C且与BD平行的平面有且只有一个即平面B1D1C，故（1）正确；
（2）因为直线BD与直线B1C所成的角即为∠A1DB，已知△A1DB为等边三角形，所以直线BD与直线B1C所成的角为60°，
假设存在过B1C且与BD垂直的平面α，则因为B1C⊂α，所以BD⊥B1C，这与事实矛盾
故不可能存在过B1C且与BD垂直的平面，（2）错误
（3）连接BC1交B1C于O
∵BC1⊥B1C，CD⊥BC1，B1C∩CD=C
∴BC1⊥平面A1B1CD，即BO⊥平面A1B1CD
∴∠BDO就是直线BD与平面A1B1CD所成的角
在直角三角形BDO中，BD=
2a，BO=
2
2a，
∴∠BDO=30°
∴直线BD与平面A1B1CD所成的角为30°
故存在平面α，即平面A1B1CD，过B1C与直线BD所成的角等于30°，（3）正确
故真命题的个数为2
故选C
点评：
本题考点： 命题的真假判断与应用．
考点点评： 本题考查了正方体中的线面关系，线面平行、线面垂直的判定与性质，线面角的计算，具有较强的空间想象能力和推理能力是解决本题的关键