证明在复数范围内,方程|z|2+(1−i).z−(1+i)z=5−5i2+i(i为虚数单位)无解.

2个回答

  • 解题思路:复系数方程是否有实根,可根据方程根的定义以及复数相等的充要条件,将复数问题转化为实数问题.此题需要设出复数的代数形式,然后根据复数相等的充要条件建立实数方程组,最后求解方程组看其是否有解.

    证明:设这个方程有复数根为z=x+yi(x,y∈R),

    则应有x2+y2+(1−i)(x−yi)−(1+i)(x+yi)=

    5(1−i)(2−i)

    22+12

    化简得x2+y2-2(x+y)i=1-3i

    根据复数相等得

    x2+y2=1(1)

    x+y=

    3

    2(2)

    由式(2)得y=

    3

    2−x

    将其代入式(1)得,2x2−3x+

    5

    4=0(3)

    ∵△=(−3)2−4×2×

    5

    4=9−10=−1<0,

    ∴式(3)无实根,即x不是实数与假设矛盾

    所以方程|z|2+(1−i)

    .

    z−(1+i)z=

    5−5i

    2+i没有复数根.

    点评:

    本题考点: 复数相等的充要条件;复数代数形式的混合运算.

    考点点评: 复数相等的充要条件(它们的实部和虚部分别相等)是把复数问题转化成实数问题的主要途径,依据它可求复数的值、在复数集中解方程等.