Question

线性代数的题向量组a1=(1,0,2,1)T,a2=(1,2,0,1)T,a3=(2,1,3.0)T,a4=(2,5,-

Answer 1

1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 2 1 5 -1 → 0 2 1 5 -1 → 0 1 0 0 0 → 0 1 0 0 0

2 0 3 -1 3 2 -2 -1 -5 1 2 -1 0 0 0 2 -1 0 0 0

1 1 0 4 -1 1 0 -2 2 -2 1 0 -2 2 -2 1 0 1 0 0

所以,A的秩为3,它的一个最大无关组为a1,a2,a3.

令B=(a1,a2,a3),则第三问等价于求方程组BX=a4和BY=a5的解.方程组BX=a4的增广矩阵为

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

0 2 1 5 → 0 2 1 5 → 0 2 1 5

2 0 3 -1 0 2 1 5 0 0 1 -1

1 1 0 4 0 0 2 -2 0 0 0 0

所以,方程组BX=a4与方程组x1+x2+2x3=2,2x2+x3=5,x3=-1同解,因此,方程组的解为x1=1,x2=3,x3=-1,所以,a4=a1+3a2-a3.

方程组BY=a5的增广矩阵为

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1

0 2 1 -1 → 0 2 1 -1 → 0 2 1 -1

2 0 3 3 0 2 1 -1 0 0 1 1

1 1 0 -1 0 0 2 2 0 0 0 0

所以,方程组BY=a5与方程组x1+x2+2x3=1,2x2+x3=﹣1,x3=1同解,因此,方程组的解为x1=0,x2=﹣1,x3=1,所以,a5=﹣a2+a3.