Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E为线段PC上靠近D的一个三等分

Answer 1

解题思路：（1）先证明OE⊥PC，由PA⊥平面ABC，由线面垂直的性质可得PA⊥BD，进而由线面垂直的判定定理得到PC⊥平面BDE；

（2）利用V_P-BED=V_P-BCD-V_E-BCD，可得结论．

（1）证明：设AC∩BD=O，连接OE，

根据题意，△PAC中，PA=1，AC=

2，PC=

3，则EC=

3

3，OC=

2

2，

∴

EC

OC＝

AC

PC＝

6

3，∠ECO=∠ACP，

∴△ECO∽△ACP，

∴OE⊥PC，

∵PA⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC

∴PA⊥BD，∵AC⊥BD，又AP∩AC=A

∴BD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，

∴BD⊥PC，又BE∩BD=B，∴PC⊥平面BDE；

（2）∵E为线段PC上靠近D的一个三等分点，

∴E到底面ABCD的距离为[1/3]，

∴V_E-BCD=[1/3×

1

2×1×1×

1

3]=[1/18]，

∵V_P-BCD=[1/3×

1

2×1×1×1=

1

6]，

∴V_P-BED=V_P-BCD-V_E-BCD=[1/6]-

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评： 熟练掌握线线，线面垂直之间的转化关系，掌握锥体的体积公式是关键．