如图,点O是等边△ABC内一点,连接OA、OB、OC,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.

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  • 解题思路:(1)由△BOC≌△ADC,得出CO=CD,再由∠OCD=60°,得出结论;

    (2)由勾股定理的逆定理判断△AOD为直角三角形;

    (3)因为△AOD是等腰三角形,可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO;若∠AOB=110°,∠COD=60°,∠BOC=190°-∠AOD,∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°,由②∠ODA=∠OAD可得α=110°,由③∠AOD=∠DAO可得α=140°.

    (1)证明:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,

    ∴△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,

    ∴CO=CD.

    ∴△COD是等边三角形.

    (2)△AOD为直角三角形,

    ∵△ADC≌△BOC,

    ∴DA=OB=5,

    ∵△COD是等边三角形,

    ∴OD=OC=4,又OA=3,

    ∴DA2=OA2+OD2

    ∴△AOD为直角三角形.

    (3)因为△AOD是等腰三角形,

    所以分三种情况:①∠AOD=∠ADO②∠ODA=∠OAD③∠AOD=∠DAO

    ∵∠AOB=110°,∠COD=60°,

    ∴∠BOC=190°-∠AOD,

    而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO

    由①∠AOD=∠ADO可得∠BOC=∠AOD+60°,

    求得α=125°;

    由②∠ODA=∠OAD可得∠BOC=150°-[1/2]∠AOD

    求得α=110°;

    由③∠AOD=∠DAO可得∠BOC=240°-2∠AOD,

    求得α=140°;

    综上可知α=125°、α=110°或α=140°.

    点评:

    本题考点: 等边三角形的判定;等腰三角形的判定;勾股定理.

    考点点评: 此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识,渗透分类讨论思想.