Question

Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ内任一点,求证：PA＊PC+PD＊ON>=AB*BC.并指出等号成立条件．

Answer 1

:设P是平行四边形ABCD内一点,求证:

PA*PC+PB*PD≥AB*BC

并指出等号成立条件.

证明 作PQ平行且等于CD,连CQ,BQ,则四边行CDPQ与ABQP均为平行四边形,所以CQ=PD,BQ=PA,PQ=AB=CD.

在四边形PBQC中,由Ptoiemy不等式有

BQ*PC+PB*CQ≥PQ*BC 即PA*PC+PB*PD≥AB*BC

等号成立当且仅当P,B,Q,C四点共圆,即∠CPB+∠CQB=π,而∠CQB=∠APD.所以不等式等号成立的条件为: ∠CPB+∠APD=π.证毕.