Question

如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A，C不重合），点Q在BC上．

Answer 1

解题思路：（1）根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°，求出BA边上的高，根据相似得出比例式，代入求出即可；

（2）求出CQ=6-CP，证△PQC∽△ABC得出比例式，代入求出即可．

（1）∵AB=5，BC=3，AC=4，

∴BC²+AC²=AB²，

∴∠C=90°，

设AB边上的高为h，

则[1/2]×3×4=[1/2]×5h，

∴h=[12/5]，

∵PQ∥AB，

∴△CQP∽△CBA，

∴[CQ/CB]=[CP/CA]=[PQ/AB]=

3

5

12

5=[1/4]，

∵AB=5，BC=3，AC=4，

∴CQ=[3/4]，CP=1，PQ=[5/4]，

∴△CPQ的周长CQ+CP+PQ=[3/4]+1+[5/4]=3；

（2）∵△CPQ的周长与四边形PABQ的周长相等，

∴CP+CQ+PQ=BQ+PQ+PA+AB=[1/2]（AB+BC+AC）=6，

∵AB=5，BC=3，AC=4，

∴CP+CQ=3-CQ+4-CP+5，

2CQ+2CP=12，

CQ+CP=6，

∵PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC．

∴[CQ/CB]=[CP/AC]，

即[6−CP/3]=[CP/4]，

解得：CP=[24/7]．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，难度适中．